Frage über Steckbriefaufgaben in der Mathematik?

Mar

10

2013

Frage von Nironaldo: Frage über Steckbriefaufgaben in der Mathematik?
Hallo ich schreibe morgen meine 1. Mathe-Lk-Klausur. Im Buch habe ich jedoch Schwierigkeiten,eine Aufgabe zu lösen. Es geht um Steckbriefaufgaben. Die Frage lautet:” Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades,deren Graph an der Stelle x=1 einen Extrempunkt und an der Stelle x=0 einen Sattelpunkt hat.” Ich weiß,dass die 1.Ableitung an der Stelle 1 gleich 0 ist und die 2.Ableitung an der Stelle 0 auch gleich null ist. Ich hoffe,dass man mir helfen kann. Dankeschön im voraus.
@ Amira: Ja ich habe f(x)=ax^3+bx^2+cx+d definiert. Außerdem weiß ich,dass f´(1)=0 , f´(0)=0 , und f´´(0)=0 ist aber mir fehlt eine Angabe

beste Antwort:

Answer by amira
also eine Funktion 3.Grades ist ja allgemein: ax^3 + bx^2 + cx + d
Also 1.Ableitung: 3ax^2 + 2bx + c
und 2. Ableitung: 6ax + 2b

f ‘(1)= 3a + 2b + c = 0
f ‘(0)= c
f ”(0) = 2b

Also so weit bin ich gekommen, aber ich denke es fehlt eine Angabe

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Antwort # 1

Meiner Meinung nach lässt sich die Aufgabe gar nicht lösen. Wenn f´(1)=0 , f´(0)=0, dann ist
f´(x)= (x-1)*x=x^2-x, dass würde bedeuten a=1/3 und b=-1/2, aber so lässt sich f´´(0)=0 nicht lösen da f´´(x)=2*x-1. Also ist die Aufgabe nicht lösbar.

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Answers beantwortet von: Rätseltante [ Grey Star Level] Bookmark and Share

Antwort # 2

Die Rätseltante hat Recht.
Mit diesen Angaben ist die Aufgabe nicht lösbar, konkreter gesagt: Es kann keine Funktion dritten Grades geben, die die genannten Eigenschaften hat.

Jede Funktion dritten Grades ist punktsymmetrisch bzgl ihres Wendepunktes.
Das würde bedeuten, dass die Funktion in x = – 1 den anderen Extrempunkt haben müsste.

Wenn aber der Wendepunkt ein horizontaler, also ein Sattelpunkt, ist, dann kann es keine Extrempunkte geben.
(Grafische Begründung:
Der Graf der Funktion sieht dann so aus wie y = f(x) = a*x³, nur dass der Wendepunkt gegenüber dem Koordinatenursprung verschoben sein kann. In Deinem Fall aber lediglich nach oben oder unten)

Die sagst, dass f ‘(0) = f ‘(1) = 0 ist.
Wegen der Punktsymmetrie bzgl des Wendepunktes müsste dann auch f’( – 1) = 0 gelten.

Damit hätte f ‘ drei Nullstellen.
Die 1. Ableitung einer Funktion dritten Grades ist jedoch stets eine quadratische Funktion, die maximal zwei Nullstellen haben kann.

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Answers beantwortet von: Wurzelgnom [ Grey Star Level] Bookmark and Share

Antwort # 3

Hallo!

Deine Angaben in weitere Details sind völlig korrekt (, bis auf f’(1) = 0 )
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
Das ist die allgemeine Form einer Funktion dritten Grades, mit a darf NICHT = 0 sein.
Wenn a = 0 wäre, hätte man ja keine Funktion dritten Grades mehr. Das ist logisch, oder?
Koeffizienten a, b, c, d aus |R, mit a ist NICHT = 0 !

Der Sattelpunkt an der Stelle x = 0, ergibt die beiden korrekten notwendigen Bedingungen:
f´(0)=0 und f´´(0)=0

f’(x) = 3ax² + 2bx + c
f’(0) = 3a*0 + 2b*0 + c = 0
< => c = 0
und
f”(x) = 6ax + 2b
f”(0) = 6a*0 + 2b = 0
< => b = 0

Das bedeutet, wenn die Funktion 3.Grades an der Stelle x=0 einen Sattelpunkt hat, dann sieht diese Funktion schon mal so aus:
f(x) = ax³ + d
……… b = c = 0, und mit a ist NICHT = 0 !
d ist egal

Jetzt kann diese Funktion KEINE Extremstelle mehr besitzen, denn, wenn man nun
f(x) = ax³ + d einmal ableitet, MUSS sie = 0 ergeben (….f’(x) = 0 notwendige Bedingung für Extremstelle)

f(x) = ax³ + d
f’(x) = 3ax²
f’(x) = 0
0 = 3ax² , mit a ist NICHT = 0 => x = 0 , aber nicht = 1

Versuch an der Stelle x = 1
f’(1) = 3a*1² = 0
f’(1) = 3a = 0
Wie Du siehsr, müsste hierfür a = 0 sein. Dann würde das aber KEINE Funktion 3.Grades sein (siehe oben.) Außerdem gilt für einen Sattelpunkt (spezieller Wendepunkt) die hinreichende Bedingung: Dritte Ableitung ist NICHT = 0
f”’(x) = 6a <> 0
Also, auch hier a ist NICHT = 0 !

Das bedeutet zusammengefasst:

==============================================
Wenn eine Funktion dritten Grades einen Sattelpunkt
besitzt, dann hat sie keine Extremstellen!
==============================================

(Ausnahmen: Wenn die Stellen am Rand des Definitionsbereichs liegen, dann können Funktionswerte Extremwerte sein. Eine Einschränkung auf der Def.-Menge wurde aber nicht angegeben)

Viel Erfolg bei Deinen Mathe-Klausuren im LK.

Gruß

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